「爱德华·索普：横扫赌场和资本市场的传奇数学家」百家号

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爱德华·索普是一位有着惊人的数学天赋的数学家，于１９３２年８月１４日在芝加哥出生。小索普一直到快３岁的时候才会开口说话，这在正常人眼里显然是一个“笨小孩”。但是，跟普通人不同，据说索普第一次说话的场景是这样的：
当时索普一家正在蒙哥马利沃德百货公司购物，有一群人从电梯走出来。突然有人问道：“那个人去哪儿了？”爱德华回答说：“噢，他去买衬衫了。”这是他第一次开口说话。从那以后，爱德华说话交谈几乎和成年人一样。６个月后，爱德华数数就能数到１００万了。看完这一段描述，我的第一反应是，这家伙在３岁前不是不会说话，更像是“不屑于”说话，一直到３岁的时候才不小心暴露了。另外，索普从小就有惊人的记忆力和数学计算能力。他和杂货店的老板打赌看谁能先算出顾客的账单，不同的是小索普用心算，老板用计算器算。结果，老板输掉了比赛，小索普为自己的精彩表现赢得了冰淇淋蛋卷。
１９６２年，３０岁的索普以《击败庄家》为书名出版了一本书，这本书描述的是索普对２１点游戏的研究。２１点游戏是一种在拉斯维加斯赌场中流行的赌博游戏，分为庄家和闲家。每张扑克牌都代表一定的点数，从２到１０的牌点数就是其牌面的数字；J、Q、K的点数是10；A可以表示1或者11，如果A算为11时总和大于21，则A算作1。大致的规则为，游戏开始之后闲家下注，然后每人发两张牌，第一张其他人不可见。闲家可以选择“要牌”、“停牌”、“加倍”，如果前两张牌相同，还可以“分牌”。所有玩家要完牌后庄家开始“要牌”或者“停牌”。每个闲家和庄家比较大小，输家付给赢家下注数。
作为一名数学家，索普的策略就是，在一旁观察一张赌桌的２１点游戏过程，并记住那些扑克牌已经出现过了。当他发现剩下的没有出现过的扑克牌在概率上变得对庄家不利之后，他就会参加进游戏中，心算出大致的获胜概率和赔率，然后根据凯里准则进行下注。
索普练习２１点系统
所谓的凯利准则是一套资金管理的方法，当获胜概率和赔率确定的时候，按照凯利准则算出的比例下注，可以使得长期资产增长率最大化。利用这一套系统，索普一行人在几天之内横扫拉斯维加斯的数个赌场，将做实验使用的１万美金初始本金翻了几番。但是，赌场始终是要赚钱的，一个人能从赌场稳定赢钱的下场，就是被赌场拒之门外。换句话说，你敢来我就敢打你。
２１点赌桌上的索普
被赌场列入黑名单之后，索普又将目光投向了资本市场。当时有一种股票权证的交易，类似于期权，可以让你在未来的某一个时间点以约定的价格购买特定的股票。那么认股权证的价格应该定为多少合适呢？在当时大家基本上都是凭借感觉，结合上未来股票可能的价格来给认股权证定价的。作为一名数学家，索普当然不可能做出仅仅凭借感觉就做出交易的行为，他思考的是如何可以合理地为认股权证定价。
１９００年，一名叫做路易斯·巴舍利耶的人在《投机理论》一文中指出，股票价格的日常变动从根本上说是不可预知的。这就表明如果一个人购买一只股票后立即将其卖掉，那么他输赢的概率是相等的。但是数学的有趣之处就在于，可以把股票的这种不可预知性变为可预知的－－从统计学的角度。为了便于理解，可以考虑这样一个例子。一名醉汉喝醉了酒，从一个路灯下开始漫无目的地行走。每一步即可能前进也可能后退也可能拐弯。那么经过一定时间之后，这名醉汉的位置在哪里呢？当然，最终这名醉汉的准确位置是不可能被算出来的，因为他的每一步都是完全随机的，跟每天的股票价格变动一样是不可预知的。但是，这名醉汉最终的位置的概率分布却是可以计算出来的。为了便于理解，再做一下简化，将醉汉的移动简化为一维的，规定他只能在一条直线上随机前进或者后退。利用计算机我们可以绘制出模拟图形，如下：
一维随机游走模拟图
其中横轴为行走的步数，纵轴表示离开起始点的位置，每一条淡淡的蓝线就是一次模拟。图上蓝色越深，就表示醉汉在对应行走了对应的步数之后，出现在此位置的概率越大。这张模拟图只是为了让我们可以直观地观察随机游走的发展情况，真实的概率分布是可以用数学公式精确计算的。从图中我们可以看出，随着步数的增加，醉汉可能出现的位置的范围不断变大，但是距离起始点越远的位置概率越小。
利用这种随机游走的模型，索普就可以推算出认股权证在合约兑现的那一天相对应的股票的价格的概率分布，从而计算出当前认股权证的价格是过高还是过低，然后再利用凯利准则，进行买卖。经过计算，索普可以发现价格严重偏离理性的权证，正式在这些价格不合理的权证上，索普赚得盆满钵满。巴菲特曾指出：“如果市场是有效的，那么我可能就得去大街上要饭了。”但是，谁也无法得知市场的无效会持续多长的时间。而索普投资的认股权证的精妙之处就在于，在合约到期的那一刻，市场价格会被强制回归理性，因为那一刻的股票价格是确定的。
声明：文中索普的图片来源于《赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式》一书。
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