「九年级数学，求圆上动点的函数表达式，需要功底深厚才行」百家号

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如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC.过点C作AB的垂线L，交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是弧AC上异于A、C的一个动点，射线AP交L于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G。（1）求证：△PAC～△PDF.
（2）若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD的长。
（3）在点P运动过程中，设AG/BG＝x，tan∠AFD＝y，求y与x的函数关系式。(不要求写出x的取值范围)（1）证明：∵四边形APCB内接于⊙O.
∴∠FPC＝∠B.
∵∠ACB＝90°，直线L⊥AB.
∴∠B＝∠ACE＝90°-∠BCE.
∵∠ACE＝∠APD.
∴∠APD＝∠FPC，∠APD+∠DPC＝∠FPC+∠DPC.
∴∠APC＝∠FPD.
又∵∠PAC＝∠PDC.
∴△PAC～△PDF.（2）解：如图，连接PO.∵弧AP＝弧PB，即点P为弧APB的中点，
∴PO⊥AB，即∠POB＝90°，PA＝PB.
∴∠POB＝2∠PAB.
∴∠PAB＝45°.
∵∠AEF＝90°.
∴∠AFE＝45°.
∴EF＝AE.
∵AB＝5.
∴AO＝PO＝5/2.
∴AP＝√(AO^2+PO^2)＝5√2/2.
在Rt△ACB中，
∵AC＝2BC，AB＝5.
∴AC＝2√5，BC＝√5，CE＝2.
∵AB⊥CD.
∴DE＝CE＝2.
又∵∠ACB＝∠AEC＝90°，∠BAC＝∠CAE.
∴△ACB～△AEC.
∴AC/AE＝BC/CE.
即AE＝AC·CE/BC＝4.
∴EF＝4，DF＝EF+DE＝6.
由(1)知，△PAC～△PDF.
∴PA/PD＝AC/DF.
∴PD＝PA·DF/AC＝3√10.（3）解：如图，过点G作GH⊥AB，交AC于点H，连接HB，以HB为直径作圆。连接CG并延长交⊙O于点Q。∵HC⊥BC，GH⊥GB.
∴点C、G都在以HB为直径的圆上，
∴∠HBG＝∠ACQ.
∵点C、D关于AB对称，点G在AB上，
∴点Q、P关于AB对称，
∴弧AP＝弧AQ.
∴∠PCA＝∠ACQ.
∴∠HBG＝∠PCA.
∵△PAC～△PDF.
∴∠PCA＝∠PFD＝∠AFD.
又∵tan∠AFD＝y.
∴y＝tan∠AFD＝tan∠HBG＝HG/BG.
又∵HG＝AG·tan∠HAG＝AG·tan∠BAC＝(BC/AC)·AG.
由于AC＝2BC.
∴HG＝AG/2.
∴y＝HG/BG＝(1/2)·AG/BG.
∵AG/BG＝x.
∴y＝x/2.
因此，y与x的函数关系式为：y＝x/2.

该话题由百家号作者33号教材「简介:专注教育事业，培养学习兴趣，拓展解题思路」整理发布
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